Segundo problema
Traten de resolver estos problemas ahorita. Si tienen dudas o soluciones postean los en la sección de comentarios correspondiente.
Problema T05.3 (b,c) @Sahid
Hola Sahid, podrías poner to solución de estos incisos en el blog. Y explicar un poco se es necesario para que los demas lo entiendan
(a) z=x+iy
ResponderBorrar|z|=sqrt(x^2+y^2)
=====> sqrt(x^2+y^2)-x-yi=1+2i
siendo |z|ϵR, e igualando parte real y parte imaginaria:
sqrt(x^2+y^2)-x=1 -------------------------- (1)
-y=2 --------------------------------------------------(2)
de donde por (2) y=-2
Luego sustituimos este valor en (1) para obtener:
sqrt(x^2+4)-x=1
sqrt(x^2+4)=x+1
Como el argumento de la raíz es positivo, podemos elevar al cuadrado sin añadir valores absolutos. Y como la raíz en sí es positiva, quiere decir que x+1 es positivo, por lo que si elevamos ese lado de la ecuación al cuadrado, no se perjudica la igualdad.
x^2+4=x^2+2x+1
4=2x+1
despejando x:
------------
x=3/2 |
y=-2 |
-----------
Se comprueba fácil que sí son soluciones de la ecuación. Si bien antes de elevar al cuadrado en teoría tengo de ambos lados dos ecuaciones de primer orden con respecto a x. Es decir, tengo una raíz. Cuando elevo al cuadrado en teoría estoy agregando una nueva solución a la ecuación. Pero en este caso da la casualidad de que se anularon los dos términos de mayor grado, con lo que volvimos a una ecuación de primer orden. Y también esto da la impresión que "la solución que agregué" en realidad no la agregué. Quisiera saber si alguien me puede aclarar esa parte.
Si tienes una ecuación A^2 = B^2 es equivalente a A = +/- B. Pero en tu caso, la ecuación es A=B. Entonces tienes que buscar las soluciones de A^2 = B^2 y luego verificar que A y B tienen el mismo signo
BorrarMuy bien, gracias Dr.
BorrarEn el ejercicio b) para demostrar que la relación cumple, llegue a que el valor absoluto de la expresión siempre es igual a 1, pero no supe como seguir avanzado, así qué no se si tienen algún consejo?
ResponderBorrarYo estoy intentando verlo como una curva paramétrica (círculo de radio 1 en los complejos) con las ecuaciones paramétricas que te salen al simplificar la división. Y de ahí ver si sale un círculo en coordenadas cartesianas pero aún no logro eliminar el parámetro t. No sé si eso sirva
BorrarYo no busque eliminar el parámetro t si no decir que para cualquiera que sea el valor de t siempre su valor absoluto es 1, por lo que para cualquier número complejo que satisfaga la expresión tendrá un valor absoluto de 1, pero eso no es a lo que debemos demostrar según yo
BorrarEso lo haces desarrollando la división. Si multiplicas por el complejo conjugado del denominador, te da esto:
Borrarz=[ (1-t^2)+2ti ] [ 1/(t^2+1) ]
Si te fijas el segundo factor es la norma del número complejo que figura en el primer factor. Es decir ya está normalizado. O hazlo directamente calculando su norma y te va a dar 1. O sea que sí tiene norma 1, pero lo que falta demostrar es que para todo número complejo unitario que a ti se te ocurra, siempre lo vas a poder obtener de esa fórmula.
José Antonio, ya lo tienes... Si es un círculo en coordenadas cartesianas, lo puedes expresar como cos(t)+sen(t) y de ahí ya estás a un paso de acabar...
BorrarEste comentario ha sido eliminado por el autor.
ResponderBorrarPuse una tontería jeje lo siento
Borrara) Como José Antonio ya resolvió esto y me da lo mismo, voy a brincarme este inciso...
ResponderBorrarb) Este me costó más trabajo... pero resulta que se puede hacer en tres pasos:
1. Primero, se desarrolla convenientemente la expresión dada:
\frac{1 + it}{1 - it} = \frac{1 - t^2 + 2ti}{1 + t^2}
\frac{1 + it}{1 - it} = \frac{1 - t^2}{1 + t^2} + \frac{2ti}{1 + t^2}
2. Observar que el lado derecho es igual a cos(t) + isen(t)
3. Ver que cos(t) + isen(t) = z en representación trigonométrica
Q.E.D.
c) Partiendo de la desigualdad del triángulo se tiene la condición necesaria y suficiente para que z_1, z_2 y z_3 formen un triángulo:
d(z_1,z_2) + d (z_2, z_3) > d(z_3, z_1)
d(z_2,z_3) + d (z_3, z_1) > d(z_1, z_2)
d(z_3,z_1) + d (z_1, z_2) > d(z_2, z_3)
Por lo tanto, la condición necesaria y suficiente para que los tres puntos dados sean colineales es nada más y nada menos que
d(z_1,z_2) + d (z_2, z_3) = d(z_3, z_1)
d(z_2,z_3) + d (z_3, z_1) = d(z_1, z_2)
d(z_3,z_1) + d (z_1, z_2) = d(z_2, z_3)
En teoría, así se demuestra esta proposición para el caso de \mathbb{R}^2, pero al tener \mathbb{C} la misma métrica euclideana, la demostración sigue siendo válida.
Una pregunta: ¿Cómo sabes que \frac{1 - t^2}{1 + t^2} + \frac{2ti}{1 + t^2} es igual a la forma trigonométrica unitaria? ¿Sacaste el radio y el argumento del número complejo o cómo?
BorrarBueno en teoría el radio ya lo tenemos pero no veo de dónde sale el argumento t
BorrarQue el módulo sea uno es directo de la forma trigonométrica, ya que cos^2(2)+sen^2(t)=1.
BorrarLa t sale de la proposición dada. Como todos los pasos son reversibles mediante el proceso algebraico inverso o la sustitución inversa, no hace falta meter la t a la fuerza en ningún lado...
Mmmm es que ahí estarías diciendo que cos(t)=\frac{1 - t^2}{1 + t^2} por ejemplo. Porque estás igualando dos números complejos y estos son iguales si y sólo si coinciden la parte real y la parte imaginaria. Entonces básicamente creo que estás dando a entender eso. O no sé si estoy entendiendo mal pero según yo no es así de directo. Igual si me pudieras aclarar esta parte te lo agradecería.
BorrarCon respecto a tu demostración del c) es redundante, pues bueno en sí la desigualdad del triángulo viene dada por 2 postulados de euclides: la desigualdad estricta está dada por un postulado, y la inclusión de la igualdad está dado por otro postulado. O sea que básicamente estás demostrando que "tres puntos pertenecen a una misma recta, si pertenecen a la misma recta" lo cual no es conclusivo
Bueno añadiéndole el "sí y sólo si" que solicita el problema para la doble implicación, diría algo como "tres puntos pertenecen a una misma recta, sí y sólo si pertenecen a la misma recta" pero igual no es conclusivo
BorrarSí, estoy diciendo que cos(t)=\frac{1 - t^2}{1 + t^2}. Y sí, estoy diciendo que cos(t) = Re(z), y que sen(t) = Im(z).
Borrar¿En qué te causa conflicto ese argumento?
Por otro lado, ya no te entiendo muy bien... Lo que estoy tratando de hacer, es encontrar una proposición q tal que sea biunívoca con "tres puntos pertenecen a una misma recta". Y justamente si se tiene la igualdad en la desigualdad del triángulo, entonces los tres puntos están en la misma recta; y recíprocamente, si los puntos están en una misma recta, se tiene la igualdad. Respecto a la redundancia, te diré que estoy aún más confundido... No veo cuáles de los postulados permiten deducir la desigualdad, y por lo tanto, no sé en qué parte está la redundancia de la que hablas. Aquí clamo error y digo que la desigualdad no es consecuencia directa de ningún postulado, sino que requiere una construcción geométrica sobre un triángulo para deducirse por medios no analíticos. Te pido que seas más claro en esto...
Bueno, de hecho así se suele tomar el espacio métrico en R^k. Me refiero al hecho de que la distancia más corta entre dos puntos es la recta en la métrica euclidiana bidimensional. O sea, creo que básicamente estás repitiendo un axioma de los espacios métricos que ya sabemos. Considero que por eso no es conclusivo
BorrarPor cierto, creo que ya entendí lo que decías del cos(t)=\frac{1 - t^2}{1 + t^2} y de la otra igualdad con seno. Sólo que para cuidar un poco la notación creo que sería mejor el argumento de coseno ponerle otra letra, digamos x. Pero ya entendí tu punto
BorrarY bueno con respecto a tu demostración del c) no me agrada del todo pero en realidad creo que si lo pensamos el problema no es muy claro así que creo que me agradaría más si directamente pusieras la definición de distancia en los números complejos para dar a entender el proceso algebráico a seguir. Porque bien necesitaríamos definir la "recta" en el espacio métrico pero si tomamos eso como definición pues el proceso algebráico está dado por eso
BorrarAlejandro, con respeto a tu solución para la (c). En teoría debería funcionar, pero hay una forma mucho mas sencilla que solo involucra relaciones lineales, nada de raizes feas.
BorrarEl inciso (c) yo lo escribí como:
ResponderBorrarLa condición necesaria y suficiente se puede escribir así:
(i) Dado z1, z2, z3, ocurra que z2 es proporcional a z1, y que z3 sea proporcional a z2. Evidentemente la proporcionalidad es transitiva y simétrica, entonces estas 2 condiciones me aseguran que cualquier par de complejos que tome serán proporcionales entre sí. Esto sólo puede ocurrir cuando a la recta a la que pertenecen sea de la forma:
y=mx
es decir, que cruza en el origen.
(ii) Cuando la recta a la que pertenecen no cruza por el origen, es decir, cuando es de la forma:
y=mx+b, con b≠0
entonces basta con restarles a los números complejos la cantidad -b y verificar si estos nuevos números complejos obtenidos z1*, z2*, z*3 pertenecen a la recta y=mx. Esto se logra nuevamente verificando que estos complejos z1*, z2*, z*3 cumplen las propiedades de proporcionalidad antes mencionadas.
-------------------------------------------------------------------------------------------
Hago mención de la proporcionalidad debido a que, dado un número complejo, y dado el origen de coordenadas, existe una única recta que pasa por estos dos puntos, por la geometría euclidiana. Y cualquier múltiplo de este número complejo sigue perteneciendo a esta recta.
Si alguien gusta desarrollar esta idea para asegurar la doble implicación estaría genial jeje. En caso de que lo obtenga alguien antes que yo
BorrarEsta idea no me gusta por la forma en la que relacionas la proporcionalidad. Para empezar, la proporcionalidad no es simétrica, ya que si a \propto l*b, entonces b\propto l*a, lo cual, claramente es falso. Por otro lado, sí es transitiva, pero aún así z_2 \propto z_1 y z_3 \propto z_2 son dos proposiciones disjuntas, por decirlo de una manera. No se relacionan entre sí ni...
BorrarTampoco veo cómo es que aún en el caso en que fuera cierto esto garantizaría que los puntos pertenecen a una recta de la forma y=mx...
Sí es simétrica, porque si z1=λ(z2), para λ distinto de cero, entonces z2=(λ^(-1))z1. Y también es transitiva gracias a la transitividad de la igualdad.
BorrarLo de la recta pues lo puedes ver como si a un número complejo lo multiplicas por un número real, éste se alarga o se contrae pero conserva el mismo argumento.
Respecto a la simetría, tienes razón... mea culpa. Es simétrica, al menos, en \mathbb{R}. Pero esta relación de equivalencia no es la misma en \mathbb{C} - que también se puede ver que es simétrica, pero por ahora no es importante...-. Te pongo un contraejemplo: ¿Existe un λ en \mathbb{R} que relacione a -1 + i con 1 + i? La respuesta es no. Por eso se necesita definir una relación de equivalencia apropiada para \mathbb{C}... ¿Existe un λ en \mathbb{C} que relacione a -1 + i con 1 + i? En este caso sí, muchos... porque el producto en el campo de los números complejos está definido de tal forma en que el producto entre dos números complejos tiene un argumento distinto que el de cada factor. Así, puedes tomar un λ con un argumento conveniente que relacione a z_1 y z_2 de tal forma en que estos puedan quedar en una recta.
BorrarA todo esto, ya entendí la idea de tu prueba, o al menos, de la primera parte: Lo que buscas no es una relación de equivalencia, -aunque esta primera parte se podría probar con la proporcionalidad en \mathbb{R} y el teorema de Tales...- sino que para z_1 y z_2 se cumpla que arg(z_1)=arg(z_2) o que arg(z_1)=arg(z_2 + \pi k), con k entero. Así, nos evitamos hablar de relaciones de equivalencia. Y repito, aunque se puede, habría que hacerlo concienzudamente, porque como lo tienes escrito causa conflicto.
Respecto a tu segunda parte, tampoco me convence... al menos la redacción, porque siento que estás pasando del plano real al complejo indistintamente. Estoy de acuerdo en que habría que hacer una resta adecuada para probarlo usando proporcionalidad, pero, reitero, habría que escribirlo adecuadamente. Ahora mismo lo que se me ocurre es que tomando la resta de z_1 con z_2 obtienes un z_4 que tiene como argumento la misma pendiente de la línea en la que están z_1 y z_2. Entonces lo que buscas es que z_3 y z_1 - z_2 cumplan con la misma propiedad que para el caso anterior: arg(z_3)=arg(z_1 - z_2) o que arg(z_3)=arg(z_1 - z_2 + \pi k)...
En cualquier caso, aclaro. Me parece que tu idea es buena, pero está mal escrita.
P.D.
Mil disculpas otra vez por lo de la simetría... Creo que ya te habrás dado cuenta de que en general hablo - y escribo...- sin pensar. Espero que no sea en esta ocasión...
Ojo, yo puse que lambda es un número real, no un número complejo. Realmente no menciono lo de la relación de equivalencia pero es trivial que se cumple.
BorrarEl paso del plano complejo al plano real R^2... pues, es algo que se hace desde el justo momento en que hablas de un plano complejo. Todos los libros lo hacen sin distinción, por ejemplo el libro del Zill cuando buscas lugares geométricos. Incluso como más arriba haces mención a la métrica euclidiana, de alguna forma estás usando un concepto. Si buscas algo más estricto sinceramente no tengo a la mano la demostración de que los puntos del plano euclideano y los números complejos son isomorfos, supongo que eso ya es una cuestión de topología jaja.
Y no te apures por lo último, cualquier aporte se agradece :)
Es que de hecho no importa si lamda es complejo o no. Igual se cumple. Y la cosa no es que estoy diciendo que todos los complejos son proporcionales. Digo que para aquellos que se cumple la proporcionalidad, y sólo para ellos, se cumple el teorema dado. Sé que lo expresé quizá no tan claro porque quería desarrollarla más tarde o por si a alguien se le ocurre una forma más formal de redactarlo jeje. Particularmente esta respuesta la puse a conciencia de que es sólo una idea por el momento, pero según yo escrito paso a paso sí debería probar el teorema
BorrarParticularmente me interesa lambda real porque así nos manejamos en el plano R^2, sé que está esa inquietud del isomorfismo pero como te digo no vengo manejando topología jaja
BorrarSi te causa ruido checa la forma trigonométrica del número complejo y verás que si lo multiplicas por un lambda real, se acorta o se alarga pero conserva su mismo argumento
BorrarEl asunto no es ni de métrica ni de topología... Respecto al λ en \mathbb{R}, si es real, entonces tu prueba no funciona. Tiene que ser complejo. Claramente alarga o acorta los números complejos, pero si λ no es complejo no puedes relacionar dos números complejos arbitratios y asegurar que estén en la misma recta y=mx. Ve el contraejemplo; ahí un número está en la recta y=-mx y otro en y=mx... Si λ es real, tienes que restringir el argumento de tus dos números complejos para que de antemano ya estén en la misma recta, pero si λ es complejo, solo por ser complejo y estar relacionados z_1 y z_2, y además haciendo que al relacionar z_1 con z_2 el número λ lo haga de tal forma que tengan un argumento que les permita ser colineales ya implica que estén en la misma recta. Eso para tu caso 1... Para tu caso dos se tiene que proceder similarmente...
BorrarEs que es justo lo que estoy pidiendo que suceda, que se restrinja el argumento. Sé que no siempre es posible pero es la hipótesis que yo estoy usando.
BorrarSe me acaba de ocurrir que quizá si usas la parametrización de rectas usando vectores en R^2 se vea más claro. Ya ves que para parametrizar rectas se usan dos vectores, y la recta pasa por sus coordenadas. A lo mejor es una condición necesaria y suficiente más particular
Es así la idea medio burda. No la he desarrollado pero si te interesa checarla estaría muy bien
BorrarMi idea para el b) es esta: si desarrollamos el número complejo z queda de esta forma:
ResponderBorrarz=[ (1-t^2)+2ti ] [ 1/(t^2+1) ]
El segundo factor es el inverso de la norma del número complejo que figura en el primer factor. Por lo tanto esto nos da un número complejo de norma 1. Ahora hay que probar que todo número complejo distinto de -1 se puede escribir de esta forma. Sería entonces demostrar que z es el círculo unitario complejo, excluyendo al número complejo -1. Esto se puede ver si vemos la parte imaginaria y real de z en coordenadas cartesianas. El círculo unitario sería de la forma:
x^2+y^2=1
Excluir el número complejo -1 equivale a excluir el punto (-1, 0) de la ecuación anterior. De inicio vemos que sí es un punto del círculo unitario, pero se debería excluir por como veremos a continuación.
Del número complejo z se puede recuperar en coordenadas cartesianas las ecuaciones:
x=(1-t^2)/(t^2+1) ----------------------------------------(1)
y=(2t)/(t^2+1) ---------------------------------------------(2)
Las cuales son ecuaciones paramétricas de alguna curva en el plano. Eliminemos entonces la variable t:
Por (1) =======> (t^2)(x)+x=1-t^2
t^2(1+x)=1-x
Aquí consideremos x≠-1 para hacer:
t^2=(1-x)/(1+x)
Notemos que x≤1, pues si fuera x>1 esto sería una contradicción, pues por la desigualdad del triángulo implicaría que z es de norma mayor a 1, y esto no es posible. Esto implica que 0≤1-x, y por esto es posible hacer:
t=±sqrt[(1-x)/(1+x)]
Sustituimos esto en la ecuación (2). Va a quedar un desmadre, pero ya una vez que simplificamos un poco sale algo así:
y=±(1+x)sqrt[(1-x)/(1+x)]
elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación:
y^2=[(1+x)^2] [(1-x)/(1+x)]
y^2=(1+x)(1-x)
y^2=1-x^2
y^2+x^2=1, para x≠-1
Por cierto, según yo, esto no aclara del todo si -1 no puede escribirse de dicha forma, pues en algún momento lo tuvimos que excluir por razones de división entre cero. A lo mejor puede constituir una solución perdida. Pero igual si ponemos x=-1 en la ecuación (1) da que 1=-1, entonces eso ya me deja tranquilo.
BorrarTambién me acabo de dar cuenta que en teoría para ser más estricto y respetar el "sí y sólo sí" implícito en el teorema, hay que ver mi procedimiento al revés, es decir leerlo de abajo hacia arriba, para que se cumpla la afirmación "todo par ordenado que satisfaga la ecuación del círculo unitario, se puede expresar de esta forma". Si lo leyéramos en el orden que va, no tendría mucho caso pues se supone que eso ya lo demostré al inicio. Si alguien me puede corregir este comentario y el anterior en caso de estar equivocado, se lo agraderecía mucho.
BorrarTu demostración me parece correcta, algo redundante pero correcta. Tanto como me puede parecer algo escrito de esta forma...
BorrarSegún yo no estoy repitiendo nada jeje. En la primera parte demuestro que si algo tiene la forma de z dada, entonces tiene norma 1. Luego demostré que si tiene norma 1 (es decir que pertenece al círculo unitario) forzosamente tiene la forma de z dada por el ejercicio. Quizá lo hice algo tedioso pero según yo no estoy repitiendo algo
BorrarEsta última prueba no esta tan mal. Pero no muy contundente. Por qué en esencia lo que se demuestra es -- nuevamente -- que el número complejo en el lado derecho de la ecuación se encuentra en el circulo unitario (excluyendo -1). Pero no muestran que se puede llegar a todos los puntos del circulo unitario escogiendo la "t" adecuadamente. De hecho, ni siquiera dicen algo sobre el rango de t. Tal vez es demasiado obvio, pero en una demostración hay que declarar de qué dominio se escoge la "t"
BorrarUff, chicos estan escribiendo demasiado. No lo leí todo -- solo llegué hasta el punto donde discutían si cos(t) = (1-t^2)/(1+t^2) o no.
ResponderBorrarObviamente no es igual. Tomen t= pi/4 entonces del lado izquierdo tienen 1/sqrt(2) del otro lado una expresión racional con pi's. No pueden ser iguales
Para resolver no basta demostrar que la expresión en el lado derecho tiene modulo uno. Hay que demostrar que para todos los z <> -1 con |z| = 1, existe una t tal que se cumple la ecuación. Por ejemplo, podemos empezar así: z = cos(x) + i sin(x), con -pi < x < pi (hay que excluir "-1"). Y luego tratar de demostrar que existe una "t" tal que la ecuación se cumple. Es decir, calcular "t" en función de una "x" arbitrario, dada.
ResponderBorrarUna identidad que podría ayudar: [ cos(x) + i sin(x) ]/[ cos(x) - i sin(x) ] = exp(2i x)
ResponderBorrarPUBLICACIÓN ATRASADA:
ResponderBorrar(a)
Digamos que z=x+iy entonces podemos escribir la ecuación como
sqrt(x^2+y^2)=(1+x)+i(2+y)
Así tenemos un sistema de dos ecuaciones
1.- 1+x=sqrt(x^2+y^2)
2.- 2+y=0
De 2.- vemos que y=-2 y reescribiendo 1.- y resolviendo para x
x=3/2
La solución de la ecuación es entonces
z=3/2-2i
Verifiquemos esta solución sustituyendola en la ecuación original
5/2-3/2+2i=1+2i
1+2i=1+2i
(b)
Sea z en Compl. y z=x+iy donde ademas |z|=1 y tiene argumento W
Se propone que z=(1+it)/(1-it) para algun t Real.
Existen dos proposiciones para demostrar:
1.- Si z=(1+it)/(1-it) -->|z|=1
2.- Si |z|=1 --> z=(1+it)/(1-it)
Demostremos 1.-
Si z=(1+it)/(1-it) entonces encontremos la forma de este numero complejo
z=(1+it)/(1-it)*(1+it)/(1+it)
z=(1-t^2)/(1+t^2)+i((2t)/(1+t^2)) (I)
Encontremos el modulo de (I)
|z|=sqrt(((1-t^2)/(1+t^2))^2+((2t)/(1+t^2))^2)
|z|=sqrt((1+t^4-2t^2)/(1+t^2)^2+((4t^2)/(1+t^2)^2))
|z|=sqrt((t^4+2t^2+1)/(1+t^2)^2)
|z|=sqrt((t^4+2t^2+1)/(t^4+2t^2+1))
|z|=1
Demostremos 2.-
Si z=exp(iW)=cosW+isinW
Tenemos que demostrar que existe un t tal que
z=(1+it)/(1-it)=(1-t^2)/(1+t^2)+i((2t)/(1+t^2))
Igualando parte R con parte R y parte Imag. con Imag. tenemos el sist de 2 ecuaciones
cosW=(1-t^2)/(1+t^2) (II)
sinw=2t/(1+t^2) (III)
Resolviendo para t después de algebra e identidades trig.
t1,2=(-cosW+-1)/sinW
Luego, si z es un num complejo con |z|=1 puede escribirse como
z=(1+it)/(1-it)
Demostrados 1.- y 2.- sólo queda aclarar que t no puede ser +1,-1,-i.
q.e.d.
(c)
Sean z1,z2 y z3 complejos y dado que los queremos en la misma recta podemos asumir que
|z1|=|z2|=|z3|=1. Suponiendo que tienen argumentos W,X,Q respectivamente. Así,
z1=exp(iW)
z2=exp(iX)
z3=exp(iQ)
Tenemos dos situaciones:
1.- W=X=Q
2.- W!=X!=Q
Claramente 1.- es la solución trivial ya que al ser iguales es evidente que se encuentran en
la misma recta. Pasemos a demostrar 2.-
Veamos la condición que deben cumplir z1 y z2 para estar en la misma recta, para estar en la misma
recta se tiene que cumplir que
z1°z2=+-1 (es el producto punto)
Haciendo entonces el producto punto
z1°z2=cosWcosX+sinWsinX=cos(W-X)
Entonces existen dos opciones para que este producto punto de 1 o -1
a.- W-X=0
b.- W-X=PI
La opcion a.- no es posible ya que por suposición W!=X, entonces nos quedamos con la condición W=PI+X
Así, tenemos a nuestros tres números complejos
z1=exp(i(PI+X))
z2=exp(iX)
z3=exp(iQ)
Haciendo lo mismo para z2 y z3 tendremos
z2°z3=cosXcosQ+sinXsinQ=cos(X-Q)
Entonces tenemos dos opciones otra vez para que este producto punto de +1 o -1
a.- X-Q=0
b.- X-Q=PI
De nuevo por suposición descaramos a.- y nos quedamos con b.- Q=X-PI y tenemos nuestros números:
z1=exp(i(PI+X))
z2=exp(iX)
z3=exp(i(X-PI))
Finalmente revisemos si z1 y z3 están en la misma recta
z1°z3=cos(PI+X)cos(X-PI)+sin(PI+X)sin(X-PI)=cos(X+PI-(X-PI))=cos(2PI)=1
Por lo tanto las dos condiciones necesarias y suficientes para que los tres numeros esten en la misma recta son
a) W=PI+X
b) Q=X-PI
q.e.d.
Otra tarea que veo a penas hoy, de verdad perdón :(
ResponderBorrarA) (sqrt(a^2 + b^2) - a ) - ib = 1 + 2i,
entonces (sqrt(a^2 + b^2) - a ) = 1
y -b = 2 -----> b = -2, sustituimos esto en el renglon anterior y obtenemos a = 3/2
por lo tanto z = 3/2 - 2i
B) necesitamos que |z|^2 = 1, entonces manejamos este 1 para que sea:
(t^4 + 2t^2 +1) / (t^4 + 2t^2 +1) = (t^4 + 4t^2 +1 - 2t^2) / (t^4 + 2t^2 +1)
= [ (t^2-1)^2 + (2t)^2 ] / (t^2+1)^2 = (t^2-1)^2 / (t^2+1)^2 + (2t)^2 / (t^2+1)^2
que serían las partes de el número z cuando le sacamos |z| como:
z = (t^2-1) / (t^2+1) + i (2t) / (t^2+1), la cual podemos manipular algebráicamente para llegar a la forma (1 + it) / (1 - it) Q.E.D. (no se que tan obvio se vea que demostré de reversa)
C) lo más obvio es fijarse en las pendientes de los segmentos que unen los 3 puntos, i.e., si damos un segmento L1 que une z1 y z2, la pendiente m1 de L1 es dada por
m1 = (b2-b1) /(a2-a1)
Si damos un segmento L2 que una z2 con z3, su pendiente será
m2 = (b3-b2)/(a3-a2)
Para que los 3 z estén en la misma linea, |m1| = |m2|
No hay forma de que coincidan las pendientes y no sea colineal, pues comparten un punto medio, ergo es suficiente
Si las pendientes no fueran iguales, L1 y L2 tendrían un ángulo de separación, por lo que no estarían en la misma línea, ergo es necesaria